Начнем с реализации по «документации» — https://en.bitcoin.it/wiki/Technical_background_of_version_1_Bitcoin_addresses
Используемая библиотека тоже достаточно стандартна для javascript как на серверной, так и на клиентской стороне (и, чему я особенно радуюсь, даже встраивается в react-native с небольшими танцами) — https://github.com/bitcoinjs/bitcoinjs-lib